Question

定义在［－1，1］上的奇函数满足，且当，时，有．
（1）试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明.
（2）若对所有，恒成立，
求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）根据函数单调性的定义，设变量作差变形定号下结论。
（2）实数m的取值范围是或或．

试题分析：解：（1）假设函数的图象上存在两个满足条件的点A，B，则它们的纵坐标相同
任取，且， 则

  4分
因为，
所以，
∴是［－1，1］上的增函数  6分
这与假设矛盾，所以假设不成立，
∴ 函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直  8分
（2）要使得对所有，恒成立，
只须，  11分
由(1)得是［－1，1］上的增函数 ∴
∴对任意的恒成立  3分
令，则只须，
解之得：或或   15分
∴实数m的取值范围是或或．  16分
点评：解决的关键是利用单调性的定义证明，同事利用不等式恒成立来化简为分离参数的思想来求解最值得到参数的范围。