Question

已知定义在实数集上的函数，，其导函数记为，
（1）设函数,求的极大值与极小值；
(2）试求关于的方程在区间上的实数根的个数。

Answer 1

（1）当时，_极大=；当时，_极小=0．；当时，_极大=；无极小值
（2）对于任意给定的正整数，方程只有唯一实根，且总在区间内，所以原方程在区间上有唯一实根

试题分析：解：（1）令，则
，…3分
令，得，且，
当为正偶数时，随的变化，与的变化如下：

		0		0
				极大值		极小值

所以当时，_极大=；当时，_极小=0．   4分
当为正奇数时，随的变化，与的变化如下：

		0		0
				极大值

所以当时，_极大=；无极小值．  8分
（2），即，
所以方程为，   9分
，   10分
又，由二项式定理知:
故对于，有，   13分  
综上，对于任意给定的正整数，方程只有唯一实根，且总在区间内，所以原方程在区间上有唯一实根．  14分
点评：主要是考查了函数的图像与方程根的问题的求解，利用导数来判定单调性和极值，得到，属于基础题。