Question

2．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$为奇函数，a为实常数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（1，+∞）上单调增；
（3）试问：是否存在实数m，使得不等式f（x+t）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m对任意t＞0及x∈[3，4]恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）根据复合函数“同增异减”的性质判断函数的单调性即可；（3）构造新函数求出新函数的单调性，得到函数的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 （1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由 $\frac{1-ax}{x-1}$＞0，得（x-1）（1-ax）＞0，
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}$=-1，解得a=-1．
（2）令u（x）=$\frac{1+x}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
设任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
则u（x₁）-u（x₂）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+$\frac{2}{x-1}$（x＞1）是减函数，
又y=${log}_{\frac{1}{2}}$u为减函数，
∴f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$在（1，+∞）上为增函数．
（3）由题意知${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+t+1}{x+t-1}}$-（$\frac{1}{2}$）^x＞m，x∈[3，4]时恒成立，
令g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+t+1}{x+t-1}}$-（$\frac{1}{2}$）^x＞log，x∈[3，4]，
由（1）知${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+t+1}{x+t-1}$在[3，4]上为增函数，
又-（$\frac{1}{2}$）^x在[3，4]上也是增函数，
故g（x）在[3，4]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{t+4}{t+2}}$-（$\frac{1}{2}$）³＞${log}_{\frac{1}{2}}^{2}$-$\frac{1}{8}$=-$\frac{9}{8}$，
∴m≤-$\frac{9}{8}$，故实数m的范围是（-∞，-$\frac{9}{8}$]．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．