Question

7．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为4，点H在棱DD₁上，点I在棱CC₁上，且HD=CI=1，在侧面BCC₁B₁内以C₁为一个顶点作边长为1的正方形EFGC₁，侧面BCC₁B₁内动点P满足到平面CDD₁C₁距离等于线段PF长的$\sqrt{2}$倍，则当点P运动时，三棱锥A-HPI的体积的最小值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$（10-3$\sqrt{2}$）
• D． $\frac{20}{3}$-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，求出P的轨迹方程，确定三棱锥A-HPI的体积最小时，P的坐标，即可得出结论．

解答
解：建立空间直角坐标系，如图所示
设P（x，4，z），则F（1，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；
∵PN=$\sqrt{2}$PF，∴x=2（x-1）²+2（z-3）²，
化简得（x-$\frac{5}{4}$）²+（z-3）²=$\frac{9}{16}$
∴P为（$\frac{5}{4}$，4，$\frac{9}{4}$）时，三棱锥A-HPI的体积最小．
∵A（4，0，0），H（0，0，1），I（0，4，1），
∴$\overrightarrow{AH}$=（-4，0，1），$\overrightarrow{AI}$=（-4，4，1），
设平面AHI的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-4x+z=0}\\{-4x+4y+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，4），
∵$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{11}{4}$，4
∴P到平面AHI的距离为$\frac{|-\frac{11}{4}+9|}{\sqrt{17}}$=$\frac{25}{4\sqrt{17}}$
∴三棱锥A-HPI的体积的最小值是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{17}$×$\frac{25}{4\sqrt{17}}$=$\frac{25}{6}$
故选：B．

点评 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目．