Question

9．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+（8-a）x-5-a，若存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{15}，\frac{1}{6}}]$
• B． $（{\frac{1}{15}，\frac{1}{4}}]$
• C． $（{\frac{1}{6}，\frac{1}{4}}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，\frac{5}{18}}]$

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x-5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x-5，h（x）=a（x+1），
g'（x）=x²-6x+8=（x-2）（x-4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）=$\frac{1}{3}$，g（2）=$\frac{5}{3}$，g（3）=1，g（4）=$\frac{1}{3}$，图象如图，函数h（x）经过（-1，0），要使存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，所以
只要a＞0并且$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥h（1）}\\{g（2）≥h（2）}\\{g（3）≥h（3）}\\{g（4）＜h（4）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2a≤\frac{1}{3}}\\{3a≤\frac{5}{3}}\\{4a≤1}\\{5a＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{15}＜a≤\frac{1}{6}$；
故选：A．

点评 本题考查了函数图象的运用，关键是将满足不等式的条件转化为两个函数图象的位置关系，结合图象得到不等式组解之；属于难题．