Question

16．已知函数f（x）=x³+2x
（1）求在点（0，0）处曲线y=f（x）的切线方程；
（2）求过点（-1，-3）的曲线y=f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）分点（-1，-3）是切点和不是切点两类求，先求出函数x³+2x的导函数，然后求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+2x的导数为f′（x）=3x²+2，
可得在点（0，0）处曲线y=f（x）的切线斜率为2，
切线方程为y=2x；
（2）f′（x）=3x²+2．设切线的斜率为k．
显然切点不是点（-1，-3），设切点是（x₀，y₀），
则有y₀=${{x}_{0}}^{3}$+2x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²+2，
又k=$\frac{{y}_{0}+3}{{x}_{0}+1}$=3x₀²+2，②
由①②得x₀=-1，（舍）或x₀=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{11}{4}$．检验当x₀=-1时，也成立，可得k=5．
∴所求曲线的切线方程为：y=5x+2或11x-4y-1=0．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于中档题．