题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB．（1）证明：DC⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值的大小．
【答案】分析：（1）先根据ABCD是直角梯形得到AD⊥DC；再结合PA⊥底面ABCD得到PA⊥BC即可得DC⊥平面PAD；
（2）先利用直线与平面垂直的判定得出BC⊥面PAC，得到BC⊥PC，∠ACP为所求二面角的平面角，再通过求边长得到∠ACP的余弦值，即可得到结论．
解答：证明：（1）ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，
∴AD⊥DC，
又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DC，AD∩PA=DC，
∴DC⊥平面PAD．
（2）∵AD⊥DC，AD=DC，∴AC=
AB，
又∠CAB=45°，∴AC⊥BC，
DC⊥平面PAD，∴PA⊥BC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，BC⊥AC，
故∠ACP为所求二面角的平面角，cos∠ACP=
=
．
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
（2）先利用直线与平面垂直的判定得出BC⊥面PAC，得到BC⊥PC，∠ACP为所求二面角的平面角，再通过求边长得到∠ACP的余弦值，即可得到结论．
解答：证明：（1）ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，
∴AD⊥DC，
又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DC，AD∩PA=DC，
∴DC⊥平面PAD．
（2）∵AD⊥DC，AD=DC，∴AC=
AB，又∠CAB=45°，∴AC⊥BC，
DC⊥平面PAD，∴PA⊥BC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，BC⊥AC，
故∠ACP为所求二面角的平面角，cos∠ACP=
=
．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
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