Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E，F分别为BC、PD的中点，若PA=AD=4，AB=2．
（1）求证：EF∥平面PAB．
（2）求直线EF与平面PCD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在

直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0）C（2，4，0），E（2，2，0），F（0，2，2）

∴ =（﹣2，0，2），平面PAB的一个法向量是 =（0，4，0）

∵ =0，

∴ ，

故 EF∥平面PAB

（2）∵ =（2，0，0）， =（0，﹣4，4）.

设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z）

则 得 ∴令z=1，得 =（0，1，1）

而 =（﹣2，0，2），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴＜ ， ＞=60°

所以EF与平面PCD所成的角是90°﹣60°=30°

【解析】（1）以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， =（﹣2，0，2），平面PAB的一个法向量是 =（0，4，0），证明 ，即可证明EF∥平面PAB；（2）求出平面PCD的一个法向量，即可求直线EF与平面PCD所成的角．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．