Question

已知f（x）=x+

a

x

．
（1）判断f（x）的奇偶性
（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性
（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，分别讨论a，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数．
（2）若a=0，则f（x）=x为增函数，满足条件，
若a＜0，f（x）=x+

a

x

在（0，+∞）上为增函数，满足条件，
若a＞0，则函数f（x）在[

a

，+∞）为增函数，
若f（x）在（1，+∞）上是增函数，
则满足

a

≤1，
解得0＜a≤1，
综上a≤1，
即a的取值范围（-∞，1]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，注意要对a进行分类讨论．