Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）已知，且任意有，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析；（3）.

【解析】

（1）当x＞1时，f（x）＝x3+3x﹣3，f（2）＝11．由f'（x）＝3x2+3，得f'（2）＝15．由此利用导数的几何意义能求出y＝f（x）在x＝2处的切线方程；

（2）当a≤﹣1时，得f（x）＝x3+3x﹣3a，由f'（x）＝3x2+3＞0，得到f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4﹣3a．当a≥1时，得f（x）＝x3﹣3x+3a，由f'（x）＝3x2﹣3≤0，得到f（x）min＝f（1）＝﹣2+3a．当﹣1＜a＜1时，f（x），由此能求出函数f（x）的最小值；

（3）当a＞0，且任意x≥1有f（x+a）﹣f（1+a）≥15a2lnx，即对任意x≥1有（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3≥0．设g（x）＝（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3，则g（1）＝0，g'（x）＝3（x+a）2+3．设h（x）＝g'（x）＝3（x+a）2+3，则h'（x）＝6（x+a）0，由此利用导数性质能求出结果．

解：（1）当时，，．由，得．

所以在处的切线方程为即．

（2）①当时，得，因为，

所以在单调递增，所以．

②当时，得，因为，

所以在单调递减，所以．

③当时，

由①②知：函数在单调递减，单调递增，所以，

综上，当，；

当时，；

当时，．

（3）当，且任意有，

即对任意有．

设，

则，．

设，

因为，，所以，所以在单调递增，

所以，即，

①当即时，所以恒成立，

所以在单调递增，此时，满足题意．

②当即时，

因为，且在单调递增，

所以存在唯一的，使得，

因此当时；当时；

所以在单调递减，单调递增．

所以，不满足题意．

综上，．