Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的零点个数；

（2）设，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）时，无零点；时，2个零点（2）证明见解析

【解析】

分类讨论，可得，分别，，利用导数求出函数的最值，即可判断函数的零点的个数，

当时，不等式成立，当时，转化为，设，，利用导数求出函数的最值即可证明．

当时，，

当时，，即，

设，

，

当且时，，即在，上单调递减，

当时，，即在上单调递递增，

当时，，

当时，，当时，，

分别画出与的图象，如图所示，

结合图象可得，当时，与的图象只有一个交点，

即函数只有一个零点，

当时，与的图象没有只有交点，即函数没有零点，

当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点．

证明：当时，，此时a取任何数都成立，

当时，要证当时，，只要证，

即证，

，

只要证，，

只要证，即证

设，，

，

令，，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

，

，，，

存在，使得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

，

成立，

即当时，，

综上所述：时，当时，．