Question

5．已知直线x=t与函数f（x）=lnx和g（x）=a+ax-x²的图象分别交于M、N两点，O为坐标原点，当直线OM、ON的斜率之差k_OM-k_ON在区间t∈[1，+∞）上单调递增时，实数a的取值范围为（　　）

• A． [-2，+∞）
• B． （-∞，-2]
• C． （-2，+∞）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 求出y=k_OM-k_ON=$\frac{lnt}{t}$-$\frac{a}{t}$-a+t，求导数，得出y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1≥0在区间t∈[1，+∞）上恒成立，可得a≥-t²+lnt-1在区间t∈[1，+∞）上恒成立，再求出右边的最大值，即可得出结论．

解答 解：由题意M（t，lnt），N（t，a+at-t²），
∴y=k_OM-k_ON=$\frac{lnt}{t}$-$\frac{a}{t}$-a+t，
∴y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1，
∵k_OM-k_ON在区间t∈[1，+∞）上单调递增，
∴y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1≥0在区间t∈[1，+∞）上恒成立，
∴a≥-t²+lnt-1在区间t∈[1，+∞）上恒成立，
令f（t）=-t²+lnt-1，则f′（t）=-2t+$\frac{1}{t}$＜0在区间t∈[1，+∞）上恒成立，
∴f（t）=-t²+lnt-1单调递减，
∴f（t）≥f（1）=-2，
∴a≥-2．
故选：A．

点评 本题考查导数知识的 综合运用，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．