题目内容

已知△ABC三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足a=2，2bcosC+c=2a，sin（2A+
π
6
）+cos2A=
3
2
，则S△ABC=（　　）
A、2
3
B、
3
C、
2
D、2
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,解三角形
分析：根据2bcosC+c=2a，由余弦定理求出角B，由sin（2A+
π
6
）+cos2A=
3
2
，求出角A，根据内角和定理求角C，C为直角，由a=2，求出边b和c，进而利用面积公式求解．
解答： 解：∵2bcosC+c=2a，由余弦定理得：2b×
a2+b2-c2
2ab
+c=2a，
整理得：a2+c2-b2=ac
根据余弦定理cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
，
∵B为三角形的内角，∴B=
π
3

∵sin（2A+
π
6
）+cos2A=
3
2
，
∴
3
2
sin2A+
1
2
cos2A+cos2A=
3
2
，
∴sin（2A+
π
3
）=
3
2
，∴2A+
π
3
=
2π
3

解得：A=
π
6
，由内角和定理得，C=
π
2
，
∵a=2，∴c=4，
由勾股定理得，b=2
3
．
∴S△ABC=
1
2
×2×2
3
=2
3
．
故选：A．
点评：本题考查了三角变换及解三角形，考查了两角和差公式的运用及余弦定理、内角和定理和面积公式，解题的关键是合理的选择公式．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f（m）|≤
1
4
，|f（m+1）|≤
1
4
，则判别式△=a2-4b的取值范围为
 
．
“一条直线与两个相交平面都平行”是“这条直线与这两个平面的交线平行”的
 
条件．
曲线y=
x
和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为
 
．
复数z=3-2i，i是虚数单位，则z的虚部是（　　）
A、2iB、-2iC、2D、-2
设双曲线C：
y2
16
-
x2
b2
=1（b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，且双曲线C的一条渐近线的一个方向向量
v
=（3，4），过下焦点F1的直线l交双曲线的下支于A，B两点，则|BF2|+AF2|的最小值为（　　）
A、
19
2
B、
41
2
C、19
D、41
在等差数列{an}中，an≠0，当n≥2时，an-1-an2+an+1=0，Sn为{an}的前n项和，若S2k-1=46，则k等于（　　）
A、14B、13C、12D、11
复数z1=2+i，z2=
1
3+i
在复平面上分别对应点A，B，则∠AOB=（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2
已知f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，则函数g（x）=ex-f（x）+1的最小值必在区间（　　）
A、（
5
2
，3）
B、（2，
5
2
）
C、（1，2）
D、（
1
2
，1）

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