Question

已知函数f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，其定义域为（-1，1）．
（1）求f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用定义判断函数f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数，从而求出f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）用单调性的定义判断并证明函数f（x）在定义域上的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，定义域为（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），
有f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数；
∴f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）=0；
（2）函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数；
证明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂

1-x1

1+x1

）-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）
=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

=（x₂-x₁）+log₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，
∴1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴log₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是定义域（-1，1）上的减函数．

点评：本题考查了用定义来判断和证明函数的单调性与奇偶性的问题，是基础题目．