Question

8．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$（n∈N^*），则S₄₀₀=20．

Answer 1

分析 利用4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，可得2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，利用a_n=S_n-S_n-1，再写一式，两式相减，确定{S_n²}是公差为1的等差数列，可得S_n²=n，即可得出结论．

解答 解：∵4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，
∴4S${\;}_{n}^{2}$=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$+2，
∴2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
n≥2时，2S_n=S_n-S_n-1+$\frac{1}{{S}_{n}-{S}_{n-1}}$，
∴S_n²-S_n-1²=1，
∴{S_n²}是公差为1的等差数列，
∵2S₁=a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$，正项数列{a_n}，
∴a₁=1，
∴S₁²=1，
∴S_n²=n，
∴S₄₀₀=20．
故答案为：20．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．