Question

13．设数列{a_n}前n项和S_n，且a₁=1，{S_n-n²a_n}为常数列，则a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 利用{S_n-n²a_n}为常数列，得到n≥2时，S_n-n²a_n=S_n-1-（n-1）²a_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，利用叠乘法，即可得出结论．

解答 解：∵{S_n-n²a_n}为常数列，
∴n≥2时，S_n-n²a_n=S_n-1-（n-1）²a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴a_n=$1•\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}•$…•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．
故答案为：$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项，考查叠乘法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．