Question

18．设函数f（x）=|x+a|-|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若y＞0，证明：f（x）≤a²y+$\frac{1}{y}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值以及a²y+$\frac{1}{y}$的最小值，从而证得结论．

解答 （Ⅰ）解：由已知可得：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，x≥2}\\{2x，-2＜x＜2}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
由x≥2时，4＞2成立；
-2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|-|x-a|≤|（x+a）-（x-a）|=2|a|，
由于y＞0，则a²y+$\frac{1}{y}$≥2$\sqrt{{a}^{2}}$=2|a|，
∴f（x））≤a²y+$\frac{1}{y}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．