Question

10．解关于x的不等式：$\frac{{x}^{lo{g}_{a}x}}{{a}^{3}}$≥x²（a＞0且a≠1）．

Answer 1

分析 利用对数的运算性质变形，得到x≥a³x²（x＞0），求解二次不等式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{lo{g}_{a}x}}{{a}^{3}}$≥x²，得${x}^{lo{g}_{a}x}≥{a}^{3}{x}^{2}$，
即x≥a³x²（x＞0），∴a³x²-x≤0，即x（a³x-1）≤0，
解得：0$＜x≤\frac{1}{{a}^{3}}$．
∴不等式：$\frac{{x}^{lo{g}_{a}x}}{{a}^{3}}$≥x²的解集为（0，$\frac{1}{{a}^{3}}$]．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查了对数的运算性质，是基础题．