题目内容

（普通班学生做）已知向量
a
=（sinθ，-2）与
b
=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，
π
2
）．求sinθ和cosθ的值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：根据向量垂直的关系，以及三角函数的公式即可得到结论．
解答： 解：（1）∵
a
与
b
互相垂直，则
a
•
b
=sinθ-2cosθ=0，
即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±
2
5
5
，cosθ=±
5
5
，
又
OA
，∴sinθ=
2
5
5
，cosθ=
5
5
．
（2）∵0＜ϕ＜
π
2
，0＜θ＜
π
2
，∴-
π
2
＜θ-ϕ＜
π
2
，
则cos(θ-ϕ)=
1-sin2(θ-ϕ)
=
3
10
10
，
∴cosφ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cosθcos(θ-ϕ)+sinθsin(θ-ϕ)=
2
2
．
点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据向量垂直的条件建立方程关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知sinα+cosα=
2
3
，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．
（文科）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是棱A1D1和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线BQ与平面CQR所成角的正弦值．
函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数解析式为f（x）=
2
x
-1，
（Ⅰ）求f（-1）的值；  
（Ⅱ）求当x＜0时，函数的解析式．
如图1，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，ADE是⊙O的割线．

（1）求证：CD•AE=AB•CE；
（2）在图1中，使线段AC绕A旋转，得到图2，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明你的理由．
已知函数f（x）=ex（x2+ax-a+1），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=ex+k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
点P（x0，y0）在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜
π
2
．直线l2与直线l1：
x0
a2
x+
y0
b2
y=1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ
（Ⅰ）证明：点P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1与直线l1的唯一交点；
（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
已知cosα-sinα=
3
2
5
，
17π
12
＜α＜
7π
4
，求sin2α和tan（
π
4
+α）的值．
已知直线l过点A（2，-3）
（1）若l与直线y+2x-5=0平行，求直线l的方程；
（2）若l与直线y+2x-5=0垂直，求直线l的方程．

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