Question

4．若a＞$\frac{3}{2}$，则方程$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用参数分离法，将方程转化为a=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，然后构造函数f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求函数的导数，判断函数的极值，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：由$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0得$\frac{1}{4}$x³+1=ax²，
当x=0时，方程不成立，则方程等价为a=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
则f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}-8}{4{x}^{3}}$，
由f′（x）=0得x=2，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
当2＜x＜5时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
即当x=2时，f（x）去掉极小值f（2）=$\frac{1}{4}$×2+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
则f（x）对应的图象为，
当x=5时，f（5）=$\frac{1}{4}$×5+$\frac{1}{25}$=$\frac{129}{100}$＜$\frac{3}{2}$，
∴若a＞$\frac{3}{2}$，则方程$\frac{1}{4}$x³-ax²+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是1个，
故选：B

点评 本题主要考查方程和函数的应用，利用参数分离法结合构造法，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．