Question

13．如图，边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，点E，F分别是AB，AC的中点．
（1）求证：BC∥平面DEF；
（2）求多面体D-BCEF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥BC．由此能证明BC∥平面DEF．
（Ⅱ）推导出AD⊥BD，AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，进而得到V_D-BCFE=V_{三棱锥A-BCD}-V_{三棱锥F-ADE}，由此能求出多面体D-BCEF的体积．

解答 证明：（1）因为点E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC．
又因为BC?平面DEF，EF?平面DEF，
所以BC∥平面DEF．  …（5分）
解：（2）依题意，AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩DC=D，
所以AD⊥平面BCD，
又因为二面角B-AD-C为直二面角，所以BD⊥CD，
所以${V_{三棱锥A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
${V_{三棱锥F-ADE}}=\frac{1}{3}{S_{△ADE}}•\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$，
所以${V_{D-BCFE}}={V_{三棱锥A-BCD}}-{V_{三棱锥F-ADE}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{24}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$．  …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查多面体D-BCEF的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．