Question

已知f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x（a∈R）．
（I）当|a|≤

1

2

时，求证f（x）在（-1，1）内是减函数；
（Ⅱ）若y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先对于函数求导，得到导函数是一个二次函数，根据二次函数的性质对于导函数的符号进行验证，得到结果．
（II）设出极值点，根据函数在所给的区间上只有一个极值点，对于函数的导函数的符号进行讨论，得到结果．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x
∴f^′（x）=x²-4ax-3
∵|a|≤

1

2

，
∴f^′（-1）≤0，f^′（1）≤0
∵f^′（x）的图象开口向上，
∴在（-1，1）内．f（x）是一个减函数．
（II）设极值点x₀，
∴f（x）在（-1，x₀）上是增函数，在（x₀，1）上是减函数，
∴a＞

1

2

时，f（x）在（-1，1）上有一个极值点，且是极大值点，
a＜-

1

2

时，f（x）在（-1，1）上有一个极小值点，
-

1

2

≤a≤

1

2

，f（x）在（-1，1）上没有极值点，
总上可知的取值范围是（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)

点评：本题考查函数的极值和单调性的应用，解题的关键是对于字母系数a的讨论，注意讨论的过程中做到不重不漏．