Question

已知f（x）=

1

3x-1

+a为奇函数．（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先由奇函数建立等式，求a，
（2）严格按照单调性定义，使得函数增函数的区间是增区间，使得函数是减函数的是减区间．

解答：解：（1）∵f（-x）=

1

3-x-1

=-1+a-

1

3x-1

=-1+2a-f（x），
由f（-x）=-f（x），
得-1+2a=0．
∴a=

1

2

．
（2）对于任意x₁≠0，x₂≠0，且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

1

3x1-1

-

1

3x2-1

=

3x2-3x1

(3x1-1)(3x2-1)

．
当x₁＜x₂＜0时，3x2＜3x1，3x2＜1，3x1＜1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
当0＜x₁＜x₂时，3x2＞3x1，3x2＞1，3x1＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力．主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义．