Question

已知曲线C：y²=4x，直线l交于A、B两点，l过C的焦点，OAQB构成平行四边形，求Q得轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出焦点的坐标，讨论直线l的斜率存在、不存在两种情况，斜率存在设出直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理求出x₁+x₂，利用直线方程求出y₁+y₂，利用平行四边形对角线的性质，求出点Q（x，y）的参数方程，消参数后即可得到点Q的轨迹方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由抛物线y²=4x得，焦点坐标为（1，0），
当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，中点就是F，此时Q点的坐标为（2，0）；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），
由

y=k(x-1) y2=4x

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则△=x₁+x₂=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
∵OAQB构成平行四边形，
∴由平行四边形的性质，线段AB与线段OQ的交点是AB、OQ的中点，
则x₁+x₂=x，y₁+y₂=y，即

x= 2k2+4 k2 y= 4 k

，
消去k得，y²=4（x-2），验证知（2，0）在y²=4（x-2）上，
所以Q的轨迹方程是y²=4（x-2）．

点评：本题考查动点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，参数方程的相关知识：设参、消参的相关技巧，综合性较强，平行四边形的对角线的交点的特征是解题的关键．