Question

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②对任意的x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜x2-x₁；
③对任意的x₁、x₂∈（e，+∞），且x₁＜x₂，有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④对任意的0＜x₁＜x₂，总有x₀∈（x₁，x₂），使得f（x0）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正确的是

 

（填写序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：直接由对数函数的运算性质结合基本不等式判断①；
构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），利用导数求得其单调性后判断②；
构造函数函数t（x）=

lnx

x

（x＞e），利用导数求得其单调性后判断③；
取两个特殊的x₁，x₂，求出

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的范围后判断④．

解答： 解：f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
对于①，由f（

x1+x2

2

）=ln(

x1+x2

2

)，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(lnx1+lnx2)=ln

x1x2

，
∵

x1+x2

2

≥

x1x2

，∴f（

x1+x2

2

）≥

f(x1)+f(x2)

2

，命题①错误；
对于②，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′(x)=1-

1

x

＞0，
∴g（x）=x-lnx在（1，+∞）上为增函数，
∵x₁＜x₂，则有x₂-lnx₂＞x₁-lnx₁，即f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，命题②正确；
对于③，令函数t（x）=

lnx

x

（x＞e），t′(x)=

1-lnx

x2

＜0，
∴t（x）为（e，+∞）上的减函数，
由x₂＞x₁＞e，得

lnx1

x1

＞

lnx2

x2

，即x₁f（x₂）＜x₂f（x₁），命题③正确；
对于④，令e=x₁＜x₂=e²，得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lne-lne2

e-e2

=

1

e2-e

＜1，
∵x₀∈（x₁，x₂），∴f（x₀）＞f（x₁）=1，不满足f（x0）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，命题④错误．
故答案为②③．

点评：本题考查对数函数的单调性，训练了利用导数研究函数的单调性方法，构造函数是解答该题的关键，是中档题．