Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（文科做）若E、F分别是BC、CD的中点，求异面直线CD₁与EF所成的角．
（理科做）若M、N分别为AB与CD₁的中点，求证：MN∥平面AA₁D₁．

Answer 1

分析：（文科）由题意得EF∥BD∥B₁D₁，可得直线EF与直线CD₁所成角的大小和直线B₁D₁与直线CD₁所成角的大小相等，再根据立方体的结构特征得到直线B₁D₁与直线CD₁所成角的大小为60°，进而得到答案．
（理科）连接AD₁，取AD₁的中点E，连接AE、EN，根据三角形中位线的性质，我们可得四边形AMNE为平行四边形，即MN∥AE，进而根据线面平行的判定定理得到MN∥平面AA₁D₁．

解答：解：（文科）因为E、F分别是BC、CD的中点，所以EF∥BD∥B₁D₁．
所以直线EF与直线CD₁所成角的大小和直线B₁D₁与直线CD₁所成角的大小相等．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
所以直线B₁D₁与直线CD₁所成角的大小为60°，
所以直线EF与直线CD₁所成角的大小为60°．
（理科）证明：连接AD₁，取AD₁的中点E，连接AE、EN，
则有EN=

1

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AB=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面AA₁D₁，MN?平面AA₁D₁，
∴MN∥平面AA₁D₁．

点评：本题的考点是直线与平面平行的判定，主要考查直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面平行的判定和性质是解答本题的关键．求异面直线所成角的关键是平移直线或作其中一条直线的中位线．