Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，求证：当x≥0时f（x）≥f（-x）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=e^x-a，讨论导数的正负从而得到函数f（x）的单调性；
（2）化简f（x）-f（-x）=e^x+e^-x-2x；由导数证明函数的单调性，从而证明当x≥0时f（x）≥f（-x）．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
f′（x）=e^x-a；
①当a≤0时，f′（x）＞0，
故f（x）=e^x-ax-1在R上是增函数，
②当0＜a时，
当x＜lna时，f′（x）＜0，
当x＞lna时，f′（x）＞0，
故f（x）=e^x-ax-1在（-∞，lna）上是减函数，
在（lna，+∞）上是增函数；
（2）证明：当a=1时，由（1）知，
f（x）=e^x-x-1在（-∞，0）上是减函数，
在（0，+∞）上是增函数；
∵f（x）-f（-x）=e^x+e^-x-2x；
∴f′（x）-f′（-x）=e^x-e^-x-2，
∵x≥0，
∴f′（x）-f′（-x）≥0，
故f（x）-f（-x）≥f（0）-f（0）=0；
故f（x）≥f（-x）．

点评：本题考查导数的综合应用，属于中档题．