Question

20．数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}前n项和为T_n，问T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，前n项和S_n满足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．可得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系可得b_n．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，前n项和S_n满足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，∴数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$构成一个首相为1公差为1的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²．
∴n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（n=1时也成立）．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
T_n＞$\frac{1000}{2009}$即：$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，解得n＞$\frac{1000}{9}$．
满足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整数为112．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．