Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+6x+3，（x≤0）}\\{-3x+3，（0＜x＜1）}\\{-{x}^{2}+4x-3，（x≥1）}\end{array}\right.$
（1）画出函数的图象 （2）根据图象写出f（x）单调区间
（3）利用单调性定义证明f（x）在（-∞，-3]上减少的．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式，利用分段函数能画出函数的图象．
（2）根据图象得到f（x）单调增区间和单调减区间．
（3）x∈（-∞，-3]，f（x）=-x²+4x-3，在（-∞，-3]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，由此利用定义法能证明f（x）在（-∞，-3]上单调递减．

解答 解：（1）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+6x+3，（x≤0）}\\{-3x+3，（0＜x＜1）}\\{-{x}^{2}+4x-3，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴画出函数的图象，如下图：

（2）根据图象得到f（x）单调增区间为（（-3，0），（1，2），
单调减区间是（-∞，3），（0，1），（2，+∞）．
证明：（3）∵x∈（-∞，-3]，∴f（x）=-x²+4x-3，
在（-∞，-3]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-${{x}_{1}}^{2}+4{{x}_{1}-3}^{\;}$）-（$-{{x}_{2}}^{2}+4{x}_{2}-3$）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₁-x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂-4），
∵x₁，x₂∈（-∞，-3]，x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，-3]上单调递减．

点评 本题考查分段函数的作法，考查函数的单调区间的求法，考查函数的单调性质的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．