Question

在数列中，．
（1）求数列的通项；
（2）若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）a_n=；（2）λ∈（﹣∞，]．

试题分析：（1）将3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0（n≥2）整理得：，可得{}为等差数列，由此求出数列{}的通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）求得的结果代入λa_n﹣a_n+1≤0，分离参数，得到λ≤，转化为求函数的最小值即可解决；
试题分析：（1）由题意知数列各项不为0，
由3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0，得3+﹣=0，
所以，
所以数列{}为等差数列，首项为1，公差为3，
则=1+（n﹣1）•3=3n﹣2，所以a_n=；
（2）若λa_n﹣a_n+1≤0恒成立，即λ≤恒成立，整理得：λ≤=1﹣，
设f（x）=1﹣，可知f（x）在x∈（﹣，+∞）上单调递增，
所以当n=1时，[1﹣]min=，
所以λ的取值范围为λ∈（﹣∞，]．