Question

如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面BCC₁B₁是正方形，E是AB的中点，AB=

2

BC．
（1）求证：BD₁⊥平面B₁CE；
（2）求二面角C-B₁E-A₁的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD₁⊥平面B₁CE．
（2）求出平面CB₁E的法向量和平面B₁EA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-B₁E-A₁的大小．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=

2

BC=

2

，B（1，

2

，0），
C（0，

2

，0），B₁（1，

2

，1），
D₁（0，0，1），E（1，

2

2

，0），

BD1

=（-1，-

2

，1），

CE

=（1，-

2

2

，0），

CB1

=（1，0，1），
∴

BD1

•

CE

=0，

BD1

•

CB1

=0，
∴BD₁⊥CE，BD₁⊥CB₁，
∴BD₁⊥平面B₁CE．
（2）解：设平面CB₁E的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CB1 =x+z=0 n • CE =x- 2 2 y=0

，取x=1，得

n

=（1，

2

，-1），
又平面B₁EA₁的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角C-B₁E-A₁的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．