Question

向量

a

=（

3

sin

x

2

，cos

x

2

），

b

=（cos

x

2

，cos

x

2

），记f（x）=

a

•

b

，当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，试求f（x）+f′（x）的值域．

Answer 1

分析：由向量的数量积计算公式可以先求f（x）的解析式，求出f（x）+f′（x）的解析式，结合定义域可求出f（x）+f′（x）的值域．

解答：解：∵f（x）=

a

•

b

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

∴f（x）+f′（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

+cos（x+

π

6

）=

2

sin（x+

5π

12

）+

1

2

又x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴

π

4

≤x+

5π

12

≤

2π

3

，
∴

2

2

≤sin(x+

5π

12

)≤1
∴f（x）+f′（x）的值域为[

3

2

，

2

+

1

2

]．

点评：用含有三角函数的坐标表示向量，就使三角函数与向量建立了密切的内在联系．三角函数与向量相结合，是高考大题的常考题形，一般是第一大题，是基础题．