Question

（2014•泸州一模）设平面向量

a

=（

3

sinx，2cosx），

b

=（2sin（

π

2

-x），cosx），已知f（x）=

a

•

b

+m在[0，

π

2

]上的最大值为6．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f(

π

2

+x0)=

14

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出f（x），利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦哈纳斯的值域确定出f（x）的最大值，即可求出m的值；
（Ⅱ）根据第一问确定出的函数解析式，由f（

π

2

+x₀）=

14

5

，求出sin（2x₀+

π

6

）的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2x₀+

π

6

）的值，所求式子变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

+m=

3

sinx•2sin（

π

2

-x）+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2+1+m=6，
∴m=3；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4，
∴f（

π

2

+x₀）=2sin[2（

π

2

+x₀）+

π

6

]+4=

14

5

，
即sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）＜0，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
则cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=

3

2

cos（2x₀+

π

6

）+

1

2

sin（2x₀+

π

6

）=-

4

5

×

3

2

+

1

2

×

3

5

=

3-4 3

10

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．