Question

设向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），记f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）画出函数f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（Ⅲ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（I）通过数量积的运算，并且结合两角和的正弦公式可得f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，进而求出函数的周期．
（II）根据整体2x+

π

6

与x的范围，取值列表，描点，连线进而得到很多的图象．
（III）根据题意可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．结合题意求出m=2，所以g（x）的最大值为

7

2

．并且此时x=

π

3

．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=a•b=

3

sinxcosx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

所以最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．             
（Ⅱ）

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

将函数y=sinx的图象向左平移

π

6

单位得到函数y=sin(x+

π

6

)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的

1

2

得到函数y=sin(2x+

π

6

)的图象，最后再向上平移

1

2

个单位得到就可得到函数y=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的图象．
     
（Ⅲ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
由g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
所以g(x)∈[m，

3

2

+m]．
又因为函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，
所以m=2．
所以函数g（x）的最大值为

7

2

．
当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，函数g（x）取得最大值

7

2

．

点评：熟练掌握数量积的运算律，以及熟练掌握三角函数的有关性质，如周期性，单调性，奇偶性，对称性等性质，这也是近几年高考题中的常见题型．?