Question

对于一切实数x，令[x]表示不大于x的最大整数，记f（x）=[x]，若a_n=f（

n

4

）（n∈N⁺），S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_4n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_4n=f（

4n

4

）=[

4n

4

]=n，从而能求出S_4n=4[0+1+2+…+（n-1）]+n=2n²-n．

解答： 解：∵f（x）=[x]，a_n=f（

n

4

）（n∈N⁺），
∴a₁=f（

1

4

）=[

1

4

]=0，
a₂=f（

2

4

）=[

2

4

]=0，
a₃=f（

3

4

）=[

3

4

]=0，
a₄=f（

4

4

）=[

4

4

]=1，
a₅=f（

5

4

）=[

5

4

]=1，
a₆=f（

6

4

）=[

6

4

]=1，
a₇=f（

7

4

）=[

7

4

]=1，
a8=f(

8

4

)=[

8

4

]=2，
…
a_4n=f（

4n

4

）=[

4n

4

]=n，
∴S_4n=4[0+1+2+…+（n-1）]+n=2n²-n．
故答案为：2n²-n．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式的合理运用．