Question

13．设函数f（x）=lnx-x+1．
（Ⅰ）分析f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f^'}（x）=\frac{1-x}{x}（x＞0）$，利用导函数的符号，判断函数的单调性．
（Ⅱ）设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，利用导函数F′（x）=1+lnx-1=lnx，判断函数的单调性，然后最后证明原不等式成立；

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=lnx-x+1，有${f^'}（x）=\frac{1-x}{x}（x＞0）$，则f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即为lnx＜x-1＜xlnx．
结合（Ⅰ）知，当x＞1时f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x-1；
设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx-1=lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，则原不等式成立；

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．