Question

已知抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过点Q（a，0）（a＞0）的直线l交抛物线G于A，B两点（如图所示）． 
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）有人发现，当点Q为抛物线的焦点时，

1

|QA|

+

1

|QB|

的值与直线l的方向无关．受其启发，你能否找到一个点Q，使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也与直线l的方向无关．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用抛物线G：y²=2px（p＞0）中p的几何意义就是焦点到准线的距离，直接求解抛物线G的方程．（Ⅱ）解法一：直线l交抛物线G于A，B两点，设直线AB：x=my+a．联立方程组

x=my+a y2=4x

，通过△＞0，得到a＞-m²时，直线l与抛物线G相交，设交点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，弦长公式化简

1

|QA|2

+

1

|QB|2

，利用表达式是定值，推出当且仅当a=2时，式子（?）与m的取值无关，
得到存在唯一的一个点Q（2，0）．
解法二：直线AB的斜率k存在，设直线AB：y=k（x-a），联立方程组

y=k(x-a) y2=4x

，设交点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，表示

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，说明式子的值与k无关．
求得a得到定点定值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为抛物线G：y²=2px（p＞0）中p的几何意义就是焦点到准线的距离，
所以抛物线G的方程是y²=4x．
（Ⅱ）解法一：
因为直线l交抛物线G于A，B两点，所以直线AB的斜率必不为0．
设直线AB：x=my+a．
联立方程组

x=my+a y2=4x

得y²-4my-4a=0．
当△=16m²+16a＞0，即a＞-m²时，直线l与抛物线G相交，
设交点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a． 
所以|QA|=

(x1-a)2+ y 2 1

=

m2+1

|y1|，同理可得|QB|=

m2+1

|y2|，
所以

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

m2+1

(

1

y12

+

1

y22

)=

1

m2+1

•

y12+y22

(y1y2)2

=

1

m2+1

•

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

m2+1

•

16m2+8a

16a2

=

1

m2+1

•

m2+ a 2

a2

．（?）        
若

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，则式子（?）与m的取值无关．
因为当且仅当a=2时，式子（?）与m的取值无关，
所以存在唯一的一个点Q（2，0），使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也与直线l的方向无关（此时，

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒为定值

1

4

）．                              
解法二：
由条件可知直线AB的斜率不为0，
若直线AB的斜率k存在，设直线AB：y=k（x-a），
联立方程组

y=k(x-a) y2=4x

得k²x²-（2k²a+4）x+k²a²=0，
当△=（2k²a+4）²-4k⁴a²=16k²a+16＞0时，直线l与抛物线G相交．
设交点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2a+4

k2

，x1x2=a2．
所以|QA|=

(x1-a)2+ y 2 1

=

k2+1

|x1-a|，同理可得|QB|=

k2+1

|x2-a|，
所以

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

k2+1

(

1

(x1-a)2

+

1

(x2-a)2

)=

1

k2+1

•

(x1-a)2+(x2-a)2

(x1-a)2•(x2-a)2

=

1

k2+1

•

8k2a+16

16a2

（?） 
若

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，则式子（?）的值与k无关．
因为当且仅当8a=16，a=2时，式子（?）的值与k无关，
所以存在点Q（2，0），使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒为定值

1

4

．
若直线AB斜率不存在，即直线AB：x=2，
此时|QA|²=|QB|²=8，也满足

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

4

． 
综上可知，能找到一个点Q，使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也与直线l的方向无关（如取Q（2，0），则

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒为定值

1

4

）．

点评：本小题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．