Question

已知矩阵M=

a 1 1 b

的一个属于特质值3的特征向量

α

=

1 1

，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵N及矩阵（MN）^-1．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换,特征值与特征向量的计算

专题：矩阵和变换

分析：（1）根据特征值及对应的特征向量即可求得矩阵M；
（2）先写出矩阵N所对应的变换，再计算det（MN）=

3

2

≠0，即可．

解答： 解：（1）根据题意，可得

a 1 1 b

1 1

=3

1 1

，
故

a+1=3 1+b=3

，解得

a=2 b=2

所以矩阵M=

2 1 1 2

；
（2）矩阵N所对应的变换为

x′=x y′= 1 2 y

，
故N=

1 0 0 1 2

，
MN=

2 1 1 2

1 0 0 1 2

=

2 1 2 1 1

．
∵det（MN）=

3

2

≠0，
∴(MN)-1=

2

3

1 - 1 2 -1 2

=

2 3 - 1 3 - 2 3 4 3

．

点评：本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．