Question

函数f（x）=ax+3•e^x的图象存在与直线2x-4y+1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，由其导数等于-2得到a=3•e^x-2有解，转化为求函数y=3•e^x-2的值域得答案．

解答： 解：由f（x）=ax+3•e^x，得f′（x）=a+3•e^x，
∵函数f（x）=ax+3•e^x的图象存在与直线2x-4y+1=0垂直的切线，
且直线2x-4y+1=0的斜率为

1

2

，
∴方程a+3•e^x=-2有实数解，
即a=3•e^x-2有解．
∵3•e^x＜0，∴a=3•e^x-2＜-2．
故答案为（-∞，-2）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有解的条件，体现了数学转化思想方法，是中档题．