题目内容

18．在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin$\frac{（n+1）π}{2}$，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2016=（　　）
A．1009B．1008C．1007D．1006

分析 由已知求出数列前几项，可得数列{an}是以4为周期的周期数列，则答案可求．

解答 解：由a1=1，an+1-an=sin$\frac{（n+1）π}{2}$，得
a2=1，a3=0，a4=0，a5=1，…
∴数列{an}是以4为周期的周期数列，
∴S2016=（a1+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8）+…+（a2013+a2014+a2015+a2016）=2×504=1008．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对数列周期的发现，是中档题．

练习册系列答案
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9．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3．

（1）写出f（x）的值域（不写过程）；
（2）用五点作图法作出f（x）在一个周期上的图象；
（3）求f（x）的对称轴；  
（4）求f（x）的对称中心；
（5）求函数f（x）的单调减区间．
6．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数x1，x2∈[0，1]，使得不等式2f（x1）＜f（x2）成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
13．设函数f（x）=x（ex-1）-ax2．
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N*）
3．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A．y=cosxB．y=xexC．y=x3-xD．y=lnx-x
10．已知两数f（x）=alnx-x2，若对区间（0，1）内任意两个实数x1，x2，且x1≠x2，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立．则实数a的取值范围是[3，+∞）．
7．和-$\frac{7π}{8}$终边相同的角为$-\frac{7π}{8}+2kπ，k∈Z$．
8．设点P对应的复数为-3-3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可能为（　　）
A．（3，$\frac{3}{4}$π）B．（3，$\frac{5}{4}$π）C．（3$\sqrt{2}$，$\frac{3}{4}$π）D．（3$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$π）

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