Question

已知定义在上的奇函数在处取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；
　 （Ⅱ）试证：对于区间上任意两个自变量的值，都有成立；
（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅲ）8

（I）由题意，∴ ,
∴,又，
即
解得.
∴------------------------------------------------4分
（II）∵，,
当时，，故在区间[－1，1]上为减函数，
∴
对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，
∴-------------------------------9分
（III）设切点为，则点M的坐标满足
因，故切线的方程为：
，
∵，∴
整理得.
∵若过点可作曲线的三条切线，
∴关于方程有三个实根.
设，则
，
由，得或.
由对称性，先考虑
∵在，上单调递增，在上单调递减.
∴函数的极值点为,或
∴关于方程有三个实根的充要条件是
，解得.
故时，点P对应平面区域的面积
故时，所求点P对应平面区域的面积为，即8.