Question

【题目】如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1 ．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1= ，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，

∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，

∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，

则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，

∴C1C⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1

∴AB1⊥CC1

（2）解：∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，

∴AC=2，OA= ，OB1= ，

若AB1= ，

则OA2+OB12=AB12，

则三角形AOB1为直角三角形，

则AO⊥OB1，

以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则C（1，0，0），B1（0， ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， ），

则 =（﹣2，0，0），

则 = =（﹣2，0，0）， =（0， ，﹣ ）， =（﹣1，0，﹣ ），

设平面AB1C的法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令z=1，则y=1，x=﹣ ，

则 =（﹣ ，1，1），

设平面A1B1A的法向量为 =（x，y，z），则 ，

令z=1，则x=0，y=1，即 =（0，1，1），

则cos＜ ， ＞= = =

由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，

∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．