椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点为A.P($\frac{4\sqrt{2}}{3}$.$\frac{b}{3}$)是C上的一点.以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．(1)求椭圆C的方程,(2)若直线l:y=kx+m(|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$)与椭圆C相交于A.B两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．

分析（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=0，再由点P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）在椭圆上，联立可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出A，B中点坐标，得到M坐标，把M坐标代入椭圆方程，可得m与k的关系，把|OM|化为含有k的代数式，结合已知k的范围求得|OM|的取值范围．

解答解：（1）A（0，b）．
∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{b}{3}$）•（c，-b）=c（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+$\frac{{b}^{2}}{3}$=0．
把点P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
得$\frac{32}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9}=1$，解得a²=4，
∴b²+c²=4，可得b²=4-c²，代入c（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+$\frac{{b}^{2}}{3}=0$，解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0．
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16＞0，即4k²-m²+2＞0 ①．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=k•\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}+2m$=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
∴AB中点G（$-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}，\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
则M（$-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$），
∵M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，
∴$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{2{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}=1$，整理得：${m}^{2}=\frac{1+2{k}^{2}}{2}$．
把${m}^{2}=\frac{1+2{k}^{2}}{2}$代入①得，$4{k}^{2}-\frac{1+2{k}^{2}}{2}+2＞0$恒成立．
∴|OM|=$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2m}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}•\frac{1+2{k}^{2}}{2}+\frac{4}{（1+2{k}^{2}）^{2}}•\frac{1+2{k}^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{8{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{4（2{k}^{2}+1）-2}{2{k}^{2}+1}}=\sqrt{4-\frac{2}{2{k}^{2}+1}}$．
∵|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴1≤2k²+1≤2，则$4-\frac{2}{2{k}^{2}+1}∈[2，3]$，
∴|OM|的取值范围为$[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$．