Question

（本题满分14分）
（理）（1）证明不等式：
（2）已知函数在上单调递增，求实数的取值范围.
（3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数的最大值.
（文）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域.

Answer 1

理：（1）见解析；（2）；（3）.
文：（1）（2）定义域为，值域为

(1)两边都有变量x在证明时，如果可看作两个函数，但不能做出其图像的情况下，一般考虑构造成一个函数通过研究最值来解决，本小题显然可以构造,然后利用导数研究其最值即可证明.
(2)本小题解决的思路是在上单调递增转化为
在上恒成立问题解决.
(3)本小题可先把参数与变量分离，基本思路是由已知在上恒成立，∵，
当x>0时，易得恒成立.
然后再研究的最小值即可.
文：（1）由于f(x)的导函数是二次函数，所以x=2就是其导函数的对称轴，据此可求出b值.
（II）由（Ⅰ）知，，
.   
然后再分别讨论当c  12和c<12的极值情况，从而确定其极小值，由于极小值g(t)是关于t的函数，然后再利用函数求定义域和值域的方法求解即可
解：（理）（1）令，
则
∴g(x)在上单调递减，即g(x)<g(0),从而成立
……………4分
（2）由，当x=0或时，，由已知得在上恒成立，∴，又f(x)在有意义，∴a≥0，综上：；
………………8分
（3）由已知在上恒成立，∵，
当x>0时，易得恒成立，……10分
令得恒成立，由（2）知：令a=2得：（1＋x）>,∴；                        …………12分
由（1）得：当时，；∴当时，不大于；∴；
当x=0时，b∈R，综上：                             ………14分
解：（文）（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是   ………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
.                   ………4分
（ⅰ）当c  12时，，此时无极值.             ………6分
（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.
当x＜时，，在区间内为增函数；
当＜x＜时，，在区间内为减函数;
当时，，在区间内为增函数.   
所以在处取极大值，在处取极小值.         ………10分
因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.
于是的定义域为.由得.
于是   .       ………12分
当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为                                     ………14分