题目内容

.已知函数
(Ⅰ)当时,求的值域
(Ⅱ)设,若恒成立,求实数a的取值范围
(III)设,若上的所有极值点按从小到大排成一列
求证:
(Ⅰ)函数的值域为 ;(Ⅱ)的取值范围为 .(Ⅲ).
本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数求解函数的单调区间,确定值域和运用不等式恒成立问题,得到参数的取值范围以及不等式的证明。
(1)因为上单调递增.
,从而得到值域。
(2)因为设,若恒成立,可以构造函数,记,则.
利用导数的思想确定最值得到参数的范围。
(3)根据
,则.
那么可知借助于正切函数的单调区间得到结论。
解:(Ⅰ) 上单调递增.

所以函数的值域为                  ……………………. 4分
(Ⅱ),记,则.
时,,所以上单调递增.
,故.从而上单调递增.
所以,即上恒成立………….7分
时,.
所以上单调递减,从而
上单调递减,这与已知矛盾. …………….9分
综上,故的取值范围为 .
(Ⅲ)
,则.

依题意可知
从而.  …………………….12分
,所以.    …………….14分
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