Question

已知z∈C，z₁=z+2i，z₂=

z

2-i

．
（1）若z₁，z₂都是实数，求复数z；
（2）在（1）的条件下，若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第四象限，求实数a取值范围；
（3）若z₁是纯虚数，且|z1-z2|=

2

，求|z₁+z₂|．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数的运算法则、复数成为实数的充要条件即可得出；
（2）利用复数的运算法则、几何意义即可得出；
（3）利用复数成为纯虚数的充要条件、复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

解答： 解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R）．
则z₁=z+2i=a+（b+2）i，z₂=

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

(2a-b)+(a+2b)i

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i，
∵z₁，z₂都是实数，∴b+2=0，

a+2b

5

=0，解得b=-2，a=4．
∴z=4-2i．
（2）∵复数（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i=12-a²+4a+8（a-2）i在复平面上对应的点在第四象限，∴

-a2+4a+12＞0 8(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．
（3）∵z₁是纯虚数，可设z=mi（m∈R），z₁=（m+2）i（m+2≠0），
z₂=

mi

2-i

=

mi(2+i)

(2-i)(2+i)

=

-m+2mi

5

=-

m

5

+

2m

5

i．
∵|z1-z2|=

2

，∴|

m

5

+(m+2-

2m

5

)i|=

2

，
∴

( m 5 )2+(2+ 3m 5 )2

=

2

，
化为m²+6m+5=0，解得m=-1或-5．
当m=-1时，z₁=i，z₂=

1

5

-

2

5

i，则|z₁+z₂|=|

1

5

+

3

5

i|=

( 1 5 )2+( 3 5 )2

=

10

5

．
当m=-5时，z₁=-3i，z₂=1-2i，则|z₁+z₂|=|1-5i|=

26

．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数成为实数的充要条件、几何意义、复数成为纯虚数的充要条件、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．