Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-blnx（a，b∈R），g（x）=x²．
（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；
（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求b的值；
（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x₀，y₀）处存在公切线，分别求出导数，令f′（x₀）=g′（x₀），得x₀=

a

2

，讨论a，分a≤0，a＞0，令f（

a

2

）=g（

a

2

），研究方程解的个数，可构造函数，运用导数求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-

1

x

-blnx，
∴f′（x）=1+

1

x2

-

b

x

，
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1-b=0，
∴b=2；
（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x₀，y₀）处存在公切线，
由f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，得f′（x）=

ax2-2x+a

x2

，g′（x）=2x，
由f′（x₀）=g′（x₀），得

ax02-2x0+a

x02

=2x₀，即2x₀³-ax₀²+2x₀-a=0，
即（x₀²+1）（2x₀-a）=0，则x₀=

a

2

，
又函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，x₀=

a

2

≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x₀，y₀）处不存在公切线；
当a＞0时，令f（

a

2

）=g（

a

2

），

a2

2

-2ln

a

2

-2=

a2

4

，
即

a2-8

8

=ln

a

2

，
令h（x）=

x2-8

8

-ln

x

2

（x＞0），
h′（x）=

1

4

x-

1

x

=

x2-4

4x

，
则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=-

1

2

＜0，
且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，
∴方程

a2-8

8

=ln

a

2

在（0，+∞）解的个数为2．
综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；
当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．

点评：本题重点考查利用导数求切线方程和研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．