Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.求证：D为棱BB₁中点；（2）为何值时，二面角A －A₁D － C的平面角为60⁰.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，先证直线DE⊥面AA₁C₁C，再证BF⊥面AA₁C₁C，得D，E，F，B共面，再证DB∥EF ，从而有EF∥AA₁，易得所证结论；（2）法1：建立空间直角坐标系，找出所需点的坐标，分别设出面DA₁C和平面AA₁DB的法向量，并列方程计算出来，再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值，便可得得值；法2：延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，证明∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角，在CHB中，根据条件计算的表达式，可得结论.
试题解析：（1）过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.
∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C内的直线DE ⊥ A₁ C，∴直线DE⊥面AA₁C₁C ，3分
又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C
由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA₁，
又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA₁＝  BB₁，所以D点为棱BB₁的中点；  6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，则D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)，                                                  7分
所以， ,                          8分
设面DA₁C的法向量为则 可取,
又可取平面AA₁DB的法向量,
cos〈〉,          10分
据题意有：，                               12分
解得： ＝ .                                      13分

解法2：延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，
过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A₁ G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角；                     9分
设AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知AB ＝ BG.
在DBG中，BH ＝  ＝ ，                    10分
在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，
据题意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，
解得：所以 ＝ .                           13分