Question

4．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A₁-BCD，如图2所示．
（1）求证：BD⊥A₁F；
（2）若图1中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，图2中M是FC的中点，求点M到平面A₁EF的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁E⊥BD，EF⊥BD，由此能证明BD⊥A₁F．
（2）由DM∥EF，得DM∥平面A₁EF，从而点M到平面A₁EF的距离为DE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于D），
延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A₁-BCD，
∴A₁E⊥BD，EF⊥BD，
∵A₁E∩EF=E，∴BD⊥平面A₁EF，
∵A₁F?平面A₁EF，
∴BD⊥A₁F．
解：（2）∵D，M分别为AC，BD中点，
∴DM∥EF，
又EF?平面A₁EF，DM?平面A₁EF，
∴DM∥平面A₁EF，
∴点M到平面A₁EF的距离为DE，
∵图1中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{4+12}$=4，
∴AB=AD=BD=2，∴DE=1，
∴点M到平面A₁EF的距离为1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．