Question

15．已知△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（b，2，）角C=$\frac{π}{3}$．
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求角A；
（2）若cosA=$\frac{1}{7}$，a=8．求b．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行的条件得到2a=b，再根据正弦定理，以及两角差的正弦公式，以及三角函数值即可求出；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（b，2），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2a=b，
∴2sinA=sinB，
∵C=$\frac{π}{3}$，
∴2sinA=sin（π-$\frac{π}{3}$-A）=sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（2）∵cosA=$\frac{1}{7}$，
∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵a=8，C=$\frac{π}{3}$，
由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
得到c=$\frac{8×sin\frac{π}{3}}{sinA}$=7，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
即b²-8b+15=0，
解得b=3，或b=5．

点评 本题考查了解三角形的问题，关键是掌握正弦定理，余弦定理，属于中档题．